Rentabilidad continua

La rentabilidad es una forma de calcular la rentabilidad en un periodo de tiempo cuya explicación vendría a ser la siguiente: ¿Qué pasaría si en lugar de cobrar los intereses al final del periodo, me los pagaran de forma “continua”?, es decir, repartidos en periodos “infinitos”.

Hay que tener en cuenta que cuanto mayor sea la frecuencia a la que se paga el interés, en lugar de esperar a cobrarlo al final del periodo, mayor es la cantidad que obtendremos a final del periodo, ya que los intereses cobrados antes se pueden reinvertir.

Eso nos podría hacer pensar que si se cobran los intereses de forma continua, la cantidad que obtenemos al final del periodo no tiene límite. Sin embargo, no es así. Si tomamos N como número de periodos en que se paga un determinado interés nominal I, la expresión (1+I/N)^N tiende a e^I

Imaginemos el siguiente esquema:

Podemos expresar la rentabilidad como interés simple:

Si buscamos la rentabilidad simple equivalente, es decir, la rentabilidad repartida de forma continua en el tiempo que lleva de una cantidad inicial invertida de 20€ a una cantidad final de 21,5%, obtenemos:

Resultando que la rentabilidad continua equivalente a una rentabilidad simple del 7,5% es Rcont = ln(1+0,075) = 7,232%. Precisamos un menor interés continuo para que una inversión de 20€ nos de al final del periodo 21,5%.

Visto al revés, si una inversión nos da una rentabilidad continua del 7,232%, es equivalente a otra que nos ofrece un interés simple del 7,5%.